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SUMMARY:Sébastien Boucksom (École Polytechnique)
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DESCRIPTION:Title: Pos
itivity in complex algebraic and differential geometry.\nby Sébastien
Boucksom (École Polytechnique) as part of RéGA (Réseau des étudiants
en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nI will survey the relations bet
ween positivity of line bundles and vector bundles from the perspective of
algebraic geometry\, phrased in terms of global sections\, and their diff
erential geometric counterparts\, which involve (possibly singular) Hermit
ian metrics of nonnegative curvature. The main emphasis will be on positiv
ity of direct images.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/1/
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SUMMARY:Juanyong Wang (École Polytechnique)
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UID:Rega/2
DESCRIPTION:Title: The
Kodaira dimension of an algebraic fiber space.\nby Juanyong Wang (Éc
ole Polytechnique) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie
Algébrique)\n\n\nAbstract\nThe Kodaira dimension is considered to be the
most important birational invariant of a complex projective variety. In t
he talk I will survey the works of Kawamata\, Viehweg\, Kollár\, Campana\
, Cao\, Păun etc. on the $C_{c\,m}$-conjecture\, and especially concentra
te on showing how to deduce these $C_{n\,m}$-type results from the positiv
ity results (of direct images) presented in Sébastien's talk.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/2/
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SUMMARY:Hiroki Kato (Université Paris-Saclay)
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UID:Rega/3
DESCRIPTION:Title: On
the weight monodromy conjecture for families\nby Hiroki Kato (Universi
té Paris-Saclay) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie
Algébrique)\n\n\nAbstract\nI will introduce how to formulate the weight m
onodromy conjecture for families\, and I will discuss my trial to prove it
in the case of families of hypersurfaces in a projective space by general
izing Scholze's method.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/3/
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SUMMARY:Yifei Zhao (Université Paris-Saclay)
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UID:Rega/4
DESCRIPTION:Title: Dri
nfeld's construction of Hecke eigensheaf for GL_2.\nby Yifei Zhao (Uni
versité Paris-Saclay) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géomé
trie Algébrique)\n\n\nAbstract\nIn 1982\, Drinfeld constructed an automor
phic form on $\\mathrm{GL}_2$\nfor every irreducible rank-$2$ local system
on a curve over a finite\nfield\, satisfying the Hecke eigenproperty. His
construction is purely\ngeometric and launched what is today known as the
geometric Langlands\nprogram. In this talk\, I will review the early hist
ory of the\ngeometric Langlands program and explain Drinfeld's original ar
gument.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/4/
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SUMMARY:Séverin Philip (l'Université Grenoble Alpes)
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UID:Rega/5
DESCRIPTION:Title: Cri
tères de réductions pour les variétés abéliennes\nby Séverin Phi
lip (l'Université Grenoble Alpes) as part of RéGA (Réseau des étudiant
s en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nJe vais d'abord introduire le
s différentes notions de réductions pour les variétés abéliennes dans
le cadre des courbes elliptiques avec un survol des différentes question
s arithmétiques qui y sont liées. Cela sera motivé par quelques exemple
s que je garderai au cours de l'exposé. J'introduirai ensuite les "modèl
es de Néron" succinctement pour montrer comment généraliser en dimensio
n supérieure ce qu'on aura vu. Je donnerai ensuite une preuve (presque) c
omplète du critère de bonne réduction de Néron-Ogg-Shafarevich pour me
ttre en lumière les relations entre géométrie et arithmétique. Je fini
rai par mentionner les résultats fondamentaux de Grothendieck concernant
la réduction semi-stable et quelques conséquences.\n\nLe code d'accès e
st 406449.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/5/
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SUMMARY:Antoine Chambert-Loir (l'Université de Paris)
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UID:Rega/6
DESCRIPTION:Title: Com
binatoire et géométrie algébrique\nby Antoine Chambert-Loir (l'Univ
ersité de Paris) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie
Algébrique)\n\n\nAbstract\nÉtant donné un polytope convexe $P$ de dimen
sion $d$ dans un espace vectoriel réel\, considérons la suite $f(P)=(f_0
\,f_1\,\\dots)$ d'entiers\, où $f_m$ est le nombre de faces de dimension
$m$ — le « vecteur $f$ » associé au polytope $P$. Si la situation est
essentiellement inintéressante en dimension 1 et 2 — on trouve $f(P)=(
2\,1)$ et $f(P)=(n\,n\,1)$ respectivement\, où $n$ est un entier $\\geq
3$ qui peut être arbitraire —\, elle devient bien plus intéressante en
dimension plus grande. La relation d'Euler-Poincaré $f_0-f_1+f_2-\\dots
= (-1)^{d-1}$\, $d$ étant la dimension de $P$\, indique que ces vecteurs
$f$ ne peuvent être arbitraires et les travaux de McMullen (1971)\, Bill
era et Lee (1980) et Stanley (1980) caractérisent exactement ceux qui app
araissent\, au moins lorsque toutes les faces des polytopes considérés s
ont des simplexes (ces polytopes sont dits $\\textit{simpliciaux}$ ou $\\t
extit{simples}$). \n\nCes caractérisations se formulent plutôt en termes
du vecteur $h(P)$\, formé des coefficients du polynôme $\\sum_{i=0}^d h
_i x^{d-i} = \\sum_{i=0}^d f_{i-1}(x-1)^{d-i}$. Les relations de Dehn--Som
merville affirment déjà que ce vecteur $h$ est symétrique: $h_i=h_{d-i}
$\, mais il y a d'autres conséquences.\nLa conséquence la plus élément
aire de cette caractérisation est que le vecteur $h$ est $\\textit{unimod
al}$ : ses coefficients croissent puis décroissent. La démonstration de
Stanley repose sur la géométrie algébrique. C'est en fait une conséque
nce presqu'immédiate du théorème de Lefschetz difficile pour la cohomol
ogie d'intersection des variétés toriques.\n\nLe but de l'exposé est de
donner quelqu'intelligibilité à la dernière phrase de ce résumé.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/6/
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SUMMARY:Matthieu Piquerez (l'École Polytechnique)
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UID:Rega/7
DESCRIPTION:Title: Tro
pical Hodge theory and the tropical Hodge conjecture\nby Matthieu Piqu
erez (l'École Polytechnique) as part of RéGA (Réseau des étudiants en
Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nClassical Hodge theory explains us
that the cohomology of a smooth projective complex variety verifies a lot
of nice properties. After a few reminders about classical Hodge theory an
d about tropical varieties\, I will present a tropical analogous of these
properties for the cohomology of a tropical variety [arXiv:2007.07826]. Th
is tropical Hodge theory is strongly linked to combinatorial Hodge theory\
, as well as to the limit of families of complex varieties. I will only de
tail the latter. This will allow me to talk about the tropical Hodge conje
cture and to discuss its links with the classical Hodge conjecture. Finall
y\, I will present a work in preparation with O. Amini where we use the tr
opical Hodge theory to prove the tropical Hodge conjecture for rationally
triangulable tropical varieties.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/7/
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SUMMARY:Olivier Wittenberg (Université Sorbonne Paris Nord)
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UID:Rega/8
DESCRIPTION:Title: Rat
ionalité et jacobiennes intermédiaires\nby Olivier Wittenberg (Unive
rsité Sorbonne Paris Nord) as part of RéGA (Réseau des étudiants en G
éométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nUne variété algébrique est dite
rationnelle si elle est birationnellement\néquivalente à l'espace projec
tif. Le problème de décider quelles variétés\nsont rationnelles occup
e les géomètres algébristes depuis le 19ème siècle\net est encore\, m
algré de grands progrès\, largement ouvert à l'heure\nactuelle. La th
éorie des jacobiennes intermédiaires joue un rôle tout\nparticulier dan
s ces questions dans le cas des variétés de dimension 3\,\naussi bien su
r les complexes (Clemens et Griffiths\, dans les années 1970)\nque sur de
s corps non algébriquement clos (travaux en collaboration avec\nOlivier B
enoist). L'exposé sera consacré au contexte et aux principales\nidées
sous-jacentes au rôle des jacobiennes intermédiaires dans les\nquestions
de rationalité.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/8/
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SUMMARY:Matthew Morrow (Sorbonne Université)
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UID:Rega/9
DESCRIPTION:Title: Alg
ebraic K-theory and its current role in arithmetic geometry.\nby Matth
ew Morrow (Sorbonne Université) as part of RéGA (Réseau des étudiants
en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nAlgebraic K-theory is a very ge
neral cohomology theory for rings\, schemes (and more) which single-handed
ly captures information about numerous other invariants: algebraic cycles\
, class groups\, étale cohomology\, special values of zeta functions\, et
c. The main modern method through which it is studied is to approximate it
via cyclic and topological cyclic homology\; these latter theories are cl
oser to de Rham\, crystalline\, and prismatic cohomology. In this talk I w
ill provide an introduction to algebraic K-theory\, including some of the
main historical examples\, before overviewing more recent advances.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/9/
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SUMMARY:Tony Yue Yu (Université Paris-Sud)
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UID:Rega/10
DESCRIPTION:Title: Fr
obenius structure conjecture and application to cluster algebras\nby T
ony Yue Yu (Université Paris-Sud) as part of RéGA (Réseau des étudiant
s en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nI will explain the Frobenius
structure conjecture of Gross-Hacking-Keel in mirror symmetry\, and an app
lication towards cluster algebras. Let $U$ be an affine log Calabi-Yau var
iety containing an open algebraic torus. We show that the naive counts of
rational curves in $U$ uniquely determine a commutative associative algebr
a equipped with a compatible multilinear form. Although the statement of t
he theorem involves only elementary algebraic geometry\, the proof employs
Berkovich non-archimedean analytic methods. We construct the structure co
nstants of the algebra via counting non-archimedean analytic disks in the
analytification of $U$. I will explain various properties of the counting\
, notably deformation invariance\, symmetry\, gluing formula and convexity
. In the special case when $U$ is a Fock-Goncharov skew-symmetric $X$-clus
ter variety\, our algebra generalizes\, and gives a direct geometric const
ruction of\, the mirror algebra of Gross-Hacking-Keel-Kontsevich. The comp
arison is proved via a canonical scattering diagram defined by counting in
finitesimal non-archimedean analytic cylinders\, without using the Kontsev
ich-Soibelman algorithm. Several combinatorial conjectures of GHKK\, as we
ll as the positivity in the Laurent phenomenon\, follow readily from the g
eometric description. This is joint work with S. Keel\, arXiv:1908.09861.
If time permits\, I will mention another application towards the moduli sp
ace of KSBA (Kollár-Shepherd-Barron-Alexeev) stable pairs\, joint with P.
Hacking and S. Keel\, arXiv: 2008.02299.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/10/
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SUMMARY:Sebastian Bartling (Sorbonne Université)
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UID:Rega/11
DESCRIPTION:Title: Br
(X)=Br´(X) for separated unions of two affines (after Gabber and Lieblich
)\nby Sebastian Bartling (Sorbonne Université) as part of RéGA (Rés
eau des étudiants en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nGabber prove
d in his thesis the following beautiful theorem: If $X$ is\nthe separated
union of two affine schemes\, then the Brauer group\nagrees with the cohom
ological Brauer group. Later Lieblich gave in his\nthesis a rather slick n
ew proof using the theory of twisted sheaves.\nIn this talk I want to sket
ch Lieblich’s proof and if time permits\nI´ll explain why I got interes
ted in this statement.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/11/
END:VEVENT
BEGIN:VEVENT
SUMMARY:Benjamin Schraen (Université Paris-Saclay)
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UID:Rega/12
DESCRIPTION:Title: Co
homologie complétée des courbes modulaires et représentations de GL2\nby Benjamin Schraen (Université Paris-Saclay) as part of RéGA (Résea
u des étudiants en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nSi la cohomolo
gie des courbes modulaires fournit une réalisation de la correspondance d
e Langlands locale pour $\\mathrm{GL}_2$\, la cohomologie complétée $p$-
adique de la tour des courbes modulaires permet de réaliser la correspond
ance de Langlands $p$-adique pour $\\mathrm{GL}_2$. Le but de cet exposé
est de présenter ce phénomène et d'expliquer comment il peut être util
isé pour démontrer des théorèmes de modularité.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/12/
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SUMMARY:Lucien Hennecart (Université Paris-Saclay)
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UID:Rega/13
DESCRIPTION:Title: Al
gèbres de Hall de courbes et de carquois\nby Lucien Hennecart (Univer
sité Paris-Saclay) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométri
e Algébrique)\n\n\nAbstract\nDans cette exposé\, nous allons introduire
les différentes algèbres de Hall que l'on peut associer aux catégories
de faisceaux cohérents sur une courbe projective lisse ou aux catégories
de représentations de carquois. Le principe de base est simple : on util
ise les extensions entre objets de la catégorie donnée pour obtenir une
multiplication sur différents espaces. On obtient ainsi les algèbres de
Hall constructibles et cohomologiques. Ces algèbres gardent encore beauco
up de mystères\, mais elles fournissent des constructions géométriques
pour les groupes quantiques\, algèbres quantiques affines et Yangiens. Le
ur étude fait intervenir des outils géométriques et combinatoires. Nous
illustrerons cela par des exemples.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/13/
END:VEVENT
BEGIN:VEVENT
SUMMARY:Nicolas Bergeron (l'ENS-PSL)
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UID:Rega/14
DESCRIPTION:Title: Sy
mboles modulaires\, arrangements d'hyperplans et fonctions elliptiques.\nby Nicolas Bergeron (l'ENS-PSL) as part of RéGA (Réseau des étudiant
s en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nJ’expliquerai comment certa
ines relations entre des produits de fonctions trigonométriques ou ellipt
iques sont gouvernées par l’homologie de groupes linéaires comme $\\ma
thrm{GL}_n(\\mathbb{Z})$. La raison cachée derrière cette observation es
t une jolie construction topologique et le chemin menant de celle-ci aux o
bjets holomorphes mentionnés plus haut passe par l’étude d’arrangeme
nts d’hyperplans dans des produits de courbes elliptiques. Si le temps l
e permet je conclurai avec une application à l’arithmétique de certain
es fonctions $L$ de Hecke. \n\nTout ceci est tiré de travaux ben cours av
ec Pierre Charollois\, Luis Garcia et Akshay Venkatesh.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/14/
END:VEVENT
BEGIN:VEVENT
SUMMARY:Cong Xue (Université de Paris)
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UID:Rega/15
DESCRIPTION:Title: Co
homologie des champs de chtoucas.\nby Cong Xue (Université de Paris)
as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie Algébrique)\n\n\n
Abstract\nPour construire la correspondance de Langlands pour les corps de
fonctions\, les cohomologies des champs de chtoucas jouent un role import
ant. Ces champs sont des analogues des variétés de Shimura qui sont util
isées pour la correspondance de Langlands pour les corps de nombres.\nDan
s cet exposé\, je vais rappeler la definition des champs de chtoucas et l
eurs cohomologies\, avec exemples. Ensuite je vais parler de quelques prop
riétés importantes de la cohomologie des champs de chtoucas et de leurs
applications dans la correspondance de Langlands.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/15/
END:VEVENT
BEGIN:VEVENT
SUMMARY:Thomas Gauthier
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UID:Rega/16
DESCRIPTION:Title: Dy
namique des familles d’endomorphismes polarisés des variétés projecti
ves.\nby Thomas Gauthier as part of RéGA (Réseau des étudiants en G
éométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nUn endomorphisme $f$ d’une varié
té projective $X$ est dit polarisé s’il existe un fibré en droites $L
$ ample sur $X$ tel que $f^*L$ est linéairement équivalent à $L^{\\otim
es d}$.\nLorsque $f$ et $X$ sont définis sur un corps de nombres $K$\, on
peut associer à un tel endomorphisme une fonction hauteur $h_f$ qui est
invariante par la dynamique au sens où $h_f(f(x))=d h_f(x)$ pour tout $x
\\in X(\\bar{K})$.\nUn théorème de Northcott implique alors que pour tou
t $x\\in X(\\bar{K})$\, $h_f(x)=0$ si et seulement si $x$ est prépériodi
que i.e. il existe $n>m\\geq 0 $ tels que $f^n(x)=f^m(x)$\, et que pour to
ute extension finie $L$ de $K$\, il existe un nombre fini de points $L$-ra
tionnels tels que $h_f(x)=0$.\n\nDans un travail en commun avec Gabriel Vi
gny\, nous avons étudié une question similaire portant sur les familles
de tels endomorphismes\, et nous avons obtenu un résultat semblable à ce
lui énoncé ci-dessus lorsque $X$ et $f$ sont définis sur les corps des
fonctions rationnelles d’une variété projective complexe. \n\nLe but d
e l’exposé sera de présenter plus en détail le cas des corps de nombr
es\, puis de préciser la question étudiée en famille et finalement de d
onner une idée de preuve dans un cas simple.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/16/
END:VEVENT
BEGIN:VEVENT
SUMMARY:Hernán Iriarte
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UID:Rega/17
DESCRIPTION:Title: Ge
ometry of Higher Rank Valuations\nby Hernán Iriarte as part of RéGA
(Réseau des étudiants en Géométrie Algébrique)\n\n\nAbstract\nIt is w
ell known since before Zariski that the set of (equivalent classes) of val
uations on the function field of an algebraic curve is in correspondence w
ith the points of the curve. In higher dimensional varieties\, this pictur
e gets more complicated: Not every valuation is divisorial\, there are val
uations of different ranks and the geometry of the space of valuations hig
hly depends on when you consider two valuations to be equal.\n\nInspired b
y understanding the relationship between Okounkov bodies and the full rank
valuation that defines them\, we developed tools to understand geometrica
lly the space of full rank valuations on function fields of algebraic vari
eties. \n\nThe approach will be through the study of valuations of a simpl
e kind called higher rank quasi-monomial valuations. These valuations can
be completely expressed in combinatorial terms: They are partial derivativ
e operators on the dual cone complex of a simple normal crossing divisor.
These led us to consider tangent cones of dual cone complexes\, which will
play the role of skeleta in this context. In particular\, the space of al
l higher rank valuations can be obtained as a limit of tangent cones of co
ne complexes. This is joint work with Omid Amini.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/17/
END:VEVENT
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