Combinatoire et géométrie algébrique

Abstract: Étant donné un polytope convexe $P$ de dimension $d$ dans un espace vectoriel réel, considérons la suite $f(P)=(f_0,f_1,\dots)$ d'entiers, où $f_m$ est le nombre de faces de dimension $m$ — le « vecteur $f$ » associé au polytope $P$. Si la situation est essentiellement inintéressante en dimension 1 et 2 — on trouve $f(P)=(2,1)$ et $f(P)=(n,n,1)$ respectivement, où $n$ est un entier $\geq 3$ qui peut être arbitraire —, elle devient bien plus intéressante en dimension plus grande. La relation d'Euler-Poincaré $f_0-f_1+f_2-\dots = (-1)^{d-1}$, $d$ étant la dimension de $P$, indique que ces vecteurs $f$ ne peuvent être arbitraires et les travaux de McMullen (1971), Billera et Lee (1980) et Stanley (1980) caractérisent exactement ceux qui apparaissent, au moins lorsque toutes les faces des polytopes considérés sont des simplexes (ces polytopes sont dits $\textit{simpliciaux}$ ou $\textit{simples}$).

Ces caractérisations se formulent plutôt en termes du vecteur $h(P)$, formé des coefficients du polynôme $\sum_{i=0}^d h_i x^{d-i} = \sum_{i=0}^d f_{i-1}(x-1)^{d-i}$. Les relations de Dehn--Sommerville affirment déjà que ce vecteur $h$ est symétrique: $h_i=h_{d-i}$, mais il y a d'autres conséquences. La conséquence la plus élémentaire de cette caractérisation est que le vecteur $h$ est $\textit{unimodal}$ : ses coefficients croissent puis décroissent. La démonstration de Stanley repose sur la géométrie algébrique. C'est en fait une conséquence presqu'immédiate du théorème de Lefschetz difficile pour la cohomologie d'intersection des variétés toriques.

Le but de l'exposé est de donner quelqu'intelligibilité à la dernière phrase de ce résumé.

Frenchalgebraic geometry

Audience: researchers in the topic

RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie Algébrique)

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