Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды с памятью

Abstract: Для уравнения $u_{tt}=u_{xx}$ имеется три канонических способа представления общего решения:

— через распространяющиеся волны $u=f(x-t)+g(x+t)$;

— формула Даламбера (интеграл от начальных данных);

— в виде ряда Фурье.

Второй и третий способы были распространены на очень широкие классы уравнений. В наиболее абстрактном исполнении метод Фурье сейчас представлен в спектральной теории операторов в различных функциональных пространствах, а интегральное представление — в виде теории полугрупп. Что же касается первого способа, то он так и остался исключительной принадлежностью простейшего уравнения, хотя даже для такого уравнения, как только область, в которой оно задано, оказывается не прямоугольной, или краевые условия не простейшие (Дирихле/Нейман) мы немедленно возвращаемся к формуле распространяющихся волн. Это порождает естественный вопрос, нельзя ли построить метод распространяющихся волн в более общем варианте?

Оказывается, ответ на этот вопрос является положительным, по крайней мере в одномерном случае. В докладе будет дано представление общего решения для волнового уравнения для неоднородной струны и для уравнения в одномерной неоднородной среде с памятью через распространяющиеся волны. Основной неожиданностью метода распространяющихся волн здесь является то, что эти волны не являются решением исходного уравнения. Решение получается только как сумма. Это объясняет относительную неуспешность известных методов поиска решений типа волны в неоднородной среде — каждый раз волны предполагались решением исходного уравнения.

Обзор этих результатов представлен в статье:

Боровских А.В. Метод распространяющихся волн // Дифференциальные уравнения. - 2023. - Т. 59. - №5. - C. 619-634. doi: 10.31857/S0374064123050060 (полный текст см. istina.msu.ru/download/557753070/1tEucw:8EoRHDe8UC1jm1QVRz4x9QKRDM4/ )

Russianmathematical physicsanalysis of PDEsclassical analysis and ODEsdynamical systemsnumerical analysisexactly solvable and integrable systemsfluid dynamics

Audience: researchers in the topic

---

Mathematical models and integration methods

---