Геометрия группы Ли в групповом анализе одномерного кинетического уравнения

Abstract: Групповая классификация одномерных кинетических уравнений (о которой рассказывалось в прошлом докладе) и которая выполнялась с целью исследования возможности установления связи между кинетическими уравнениями и уравнениями сплошной среды с использованием группового подхода, помимо уравнений с максимальной ($8$-мерной) группой симметрий, которые эквивалентны уравнению с отсутствующим внешним силовым полем, дала еще ряд уравнений с субмаксимальными группами симметрий (размерности три). Эти уравнения связаны с весьма экзотическими силовыми полями, рассмотрение которых можно было бы считать малоинтересным с точки зрения приложений, если бы группы симметрий в самых экзотических случаях не оказались бы в точности совпадающими с группами движений двумерных (в пространстве переменных ($t$, $x$)) римановых метрик постоянной кривизны.

Это поставило вопрос о том, какова геометрическая сторона полученной классификации? Что это означает с геометрической точки зрения? Попытки усмотреть какие-то геометрические интерпретации в остальных субмаксимальных случаях успеха не имели до тех пор, пока рассмотрения велись в пространстве переменных ($t$, $x$). Помог здесь достаточно странный, с точки зрения физики, сдвиг исходных позиций, состоящий в том, что геометрия стала рассматриваться не в двумерном, а в трехмерном пространстве ($t$, $x$, $c$), включающем, помимо прежних переменных — времени и координаты — еще и скорость.

Такой ход позволил совсем по-другому взглянуть на геометрию. Поскольку размерность рассматриваемого пространства переменных оказалась совпадающей с размерностью группы, искомая геометрия автоматически оказывалась и геометрией самой группы. То есть речь пошла уже о том, возможно ли на самой группе Ли задать риманову геометрию так, чтобы она была инвариантна относительно этой группы? Ответ оказался положительный и простой, такая геометрия задавалась, как выяснилось, квадратичной формой с постоянными коэффициентами от $n$ линейных дифференциальных форм, инвариантных относительно той же группы. При этом оказалось, что для любой такой квадратичной формы (для любых коэффициентов) траектории частиц в пространстве переменных ($t$, $x$, $c$) являются спиралями, то есть имеют постоянную кривизну и кручение. Основную же роль в обосновании этого факта сыграла алгебра, которая была названа двойственной, и которая определяется условием коммутации с исходной алгеброй. Траектории частиц, которые были упомянуты выше, оказываются траекториями однопараметрических подгрупп этой двойственной алгебры, и тот факт, что эти траектории являются спиралями, порождает массу вопросов об отношении этой геометрии к геометрическим конструкциям Э. Картана, который полагал траектории однопараметрических групп геодезическими.

Russianmathematical physicsanalysis of PDEsclassical analysis and ODEsdynamical systemsnumerical analysisexactly solvable and integrable systemsfluid dynamics

Audience: researchers in the topic

Mathematical models and integration methods