Intersecting Null Cones and GPS, GLONASS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of Near-Earth Space with Account of General Relativity Theory

Abstract: (The talk will be given in Russian with English slides)

Zoom link: us04web.zoom.us/j/2084211239?pwd=bzZoZFF0RFl6TzBBZ2hHa3pZS0prQT09

Пересекающиеся нулевые конусы межспутниковых коммуникаций для GPS и GLONASS в гравитационном поле околоземного пространства с учетом эффектов Общей Теории Относительности

In this report a theoretical approach will be presented for intersatellite communications (ISC) between two satellites (belonging to satellite configurations GPS or GLONASS), moving on (one-plane) elliptical orbits. The new approach is based on the introduction of two null cones with origins at the emitting-signal and receiving-signal satellites. The two null cones (intersected also with a hyperplane) account for the variable distance between the satellites. This intersection of the two null cones gives the space-time interval in GRT. Applying some theorems from higher algebra, it was proved that this space-time distance can become zero, consequently it can be also negative and positive. But in order to represent the geodesic distance travelled by the signal, the space-time interval has to be "compatible" with the Euclidean distance. So this "compatibility condition", conditionally called "condition for ISC", is the most important consequence of the theory. The other important consequence is that the geodesic distance turns out to be the space-time interval, but with account also of the "condition for ISC". The geodesic distance turns out to be greater than the Euclidean distance - a result, entirely based on the "two null cones approach" and moreover, without any use of the Shapiro delay formulae. Application of the same higher algebra theorems shows that the geodesic distance cannot have any zeroes, in accord with being greater than the Euclidean distance. The theory also puts a restriction on the eccentric anomaly angle E=45.00251 [deg], which is surprisingly close to the angle of disposition of the satellites in the GLONASS satellite constellation - 8 satellites within one and the same plane equally spaced at 45 deg. Under some specific restrictions and for the case of plane motion of the satellites, an analytical formula was derived for the propagation time of the signal, emitted by a moving along an elliptical orbit satellite. The formula can be represented as a sum of elliptic integrals of the first, second and the third kind.

References

1. Bogdan G. Dimitrov, Two null gravitational cones in the theory of GPS-intersatellite communications between two moving satellites. I. Physical and mathematical theory of the space-time interval and the geodesic distance on intersecting null cones, (third) extended version of arxiv.org/abs/1712.01101v3 [gr-qc], 162 pages .

2. Bogdan G. Dimitrov, New Mathematical Models of GPS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of the Near-Earth Space, AIP Confer. Proc. 2075, 040007 (2019); doi.org/10.1063/1.5091167 , 9 pages.

В этом докладе будет представлен теоретический подход для спутниковых коммуникаций между двумя спутниками (GPS, GLONASS), которые двигаются по эллиптических орбитах. Подход основан на введении двух нулевых конусов с вершинами в спутниках, посылающие и принимающие сигналы соответственно. Два нулевых конуса (пересекающихся также с гиперплоскостью) учитывают изменяющееся расстояние между спутниками. Пересечение двух нулевых конусов задает пространственно-временной интервал в ОТО. Применяя некоторые теоремы из высшей алгеброй, было показано, что пространственно-временной интервал может равняться нулю, следовательно он может быть также и отрицательным, и положительным. Но чтобы этот интервал представлял геодезическое расстояние, пространственно-временной интервал должен быть «согласованным» со Евклидовым расстоянием. Таким образом, это «условие согласованности», условно названное «условие для спутниковых коммуникаций», является наиболее важным следствием теории. Другое важное следствие: геодезическое расстояние оказывается пространственно-временным интервалом, но с учетом «условия для спутниковых коммуникаций». Таким образом, геодезическое расстояние оказывается большим, чем Евклидово расстояние – результат, которой основывается только на «подходе двух конусов» и более того, без использования формулы Шапиро для замедления сигнала. Применение этих же теорем из высшей алгеброй показывает, что геодезическое расстояние не имеет никаких нулей, в соответствии с тем, что оно больше евклидова расстояния. Теория также накладывает ограничение на угол эксцентричной аномалии E=45.00251 [deg], что удивительно близко к угловому расстоянию спутников в конфигурации ГЛОНАСС (российский аналог американского GPS) - 8 спутников в одной и той же плоскости с равным интервалом в 45 градусов. При некоторых конкретных ограничениях и для случая плоского движения спутников, аналитическая формула была получена для времени распространения сигнала, излучаемым движущимся по эллиптической орбите спутником. Формула может быть представлена в виде суммы эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода.

machine learningmathematical softwaresymbolic computationmathematical physicsanalysis of PDEsclassical analysis and ODEsdynamical systemsnumerical analysisexactly solvable and integrable systemscomputational physicsdata analysis, statistics and probability

Audience: researchers in the topic

( slides )

---

Mathematical models and integration methods

---