Внутренние лагранжианы как вариационные принципы

Abstract: Классический принцип стационарного действия связан с лагранжианами, определёнными на пространствах джетов. Соответствующие уравнения движения представляют собой поверхности в таких пространствах. Оказывается, что в дополнение к этому принцип стационарного действия всегда воспроизводит себя на уровне внутренней геометрии соответствующего вариационного уравнения. При этом возникает «внутренний интегральный функционал», определённый на классе особых подмногообразий уравнения. Эти подмногообразия имеют размерность как у решений и склеены из начально-краевых условий, продолженных на старшие производные; в этом смысле они представляют собой «почти решения».

Все решения вариационных уравнений заведомо являются стационарными точками внутренних интегральных функционалов в соответствующих классах почти решений. В зависимости от ситуации стационарными точками таких функционалов могут быть не только решения. Однако если почти решение уравнений Эйлера — Лагранжа склеено из нехарактеристических начально-краевых условий, оно является стационарной точкой соответствующего внутреннего функционала тогда и только тогда, когда оно является решением.

В этой связи удаётся также сформулировать соответствующую версию теоремы Нётер, согласно которой всякая симметрия вариационных уравнений либо определяет законы сохранения, либо порождает внутренние интегральные функционалы.

Предлагаемая конструкция служит ответом на вопрос о том, почему внутренняя геометрия вариационных уравнений знает об их вариационной природе: функционал действие всегда воспроизводит себя внутри соответствующих уравнений с помощью порождаемого им внутреннего функционала.

Russianmathematical physicsanalysis of PDEsclassical analysis and ODEsdynamical systemsnumerical analysisexactly solvable and integrable systemsfluid dynamics

Audience: researchers in the topic

Mathematical models and integration methods