Бегущие волны в сильно неоднородных средах

Abstract: Под распространяющейся волной в линейной теории обычно понимает функцию $f(x – ct)$ с произвольной зависимостью от других пространственных координат (здесь $t$ — время, и $x$ — координата). Их нахождение в случае одной пространственной координаты сводится к решению в простейшем случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложно найти бегущие волны в волноводах со сложной поперечной структурой, и, например, нахождение бегущих волн в жидкости со свободной поверхностью стало предметом специального раздела нелинейной математики. Если параметры среды меняются медленно во времени или плавно в пространстве, то волна локально описывается теми же выражениями, что и в однородной среде, а изменение амплитуды и фазы волны находится с помощью лучевых методов, или более строго с помощью асимптотической процедуры. Уже давно было отмечено, что в некоторых случаях асимптотические решения являются точными и не требуют плавности изменения параметров среды. При этом возникают вопросы, являются ли такие решения бегущими волнами, если среда не является плавно неоднородной. В настоящем докладе эта проблема обсуждается применительно к волнам на воде. Показывается, что существуют несколько профилей переменной глубины, когда асимптотические решения для линейных волн становятся точными решениями. Такие решения всегда имеют сингулярные точки. Наряду с монохроматическими волнами, получены решения в виде бегущих импульсов, и исследована их форма. В частности, для одного класса донной геометрии поверхностная волна должна быть знакопеременной, при этом волна скорости частиц меняет свою форму по мере распространения. Получены соответствующие решения начальной задачи, демонстрирующие особенности формирования бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях, при этом в общем случае формируется зона переменного течения между двумя разбегающими волнами. Эти решения применяются для изучения трансформации и отражения волны от излома глубины. Несмотря на «точечность» отражения, форма отраженной и преломленной волны меняется кардинально, в частности для любой формы падающей волны, трансформированная волна является знакопеременной. Приводятся примеры бегущих волн в атмосферной акустике, солнечной атмосфере и физики внутренних волн в стратифицированной жидкости. Существенно меньше результатов получено в нелинейной задаче.

mathematical physicsanalysis of PDEsclassical analysis and ODEsdynamical systemsnumerical analysisexactly solvable and integrable systemsfluid dynamics

Audience: researchers in the topic

Mathematical models and integration methods