Équidistribution simultanée des orbites toriques

Abstract: Les problèmes classiques de Linnik traitent l'équidistribution des orbites périodiques toriques sur les espaces homogènes attachés aux formes intérieures de PGL(2), lorsque le discriminant du tore grandit. Quand on les spécialise, ces problèmes admettent de belles interprétations, telles que l'équidistribution des points entiers sur la sphère, des points de Heegner ou des paquets de géodésiques fermées sur la courbe modulaire, ou bien des réductions supersingulières des courbes elliptiques à multiplication complexe. Au milieu du 20ème siècle, Linnik a établi l'équidistribution de plusieurs de ces variantes classiques à travers sa méthode ergodique, sous une condition de congruence supplémentaire sur les discriminants modulo un nombre premier fixé auxiliaire. Lorsque ces méthodes sont suffisamment quantifiées, la condition de congruence auxiliaire peut être supprimée en supposant l'hypothèse de Riemann Généralisée (GRH).

Dans leur article du congrès international en 2006, Michel et Venkatesh ont proposé une nouvelle variante des problèmes d'équidistribution de Linnik dans lesquels on considère un tore de grand discriminant plongé diagonalement dans le produit de deux formes intérieures distinctes de PGL(2). Sous des conditions de congruences supplémentaires modulo (maintenant) deux nombres premiers auxiliaires fixes, Einsiedler et Lindenstrauss ont démontré cette conjecture par un résultat de rigidité. Au contraire du problème original de Linnik, ces méthodes ergodiques n'admettent pas de quantification suffisante pour enlever, conditionnellement sous GRH, la double condition de congruence sur les discriminants.

Dans cet exposé, j’expliquerai des travaux en commun avec Valentin Blomer, où on enlève la double condition de congruence dans le problème d'équidistribution simultanée, conditionnellement sous GRH, en obtenant un taux de convergence effective logarithmique.

Frenchalgebraic geometrynumber theory

Audience: researchers in the topic

Séminaire de géométrie arithmétique et motivique (Paris Nord)