Էրգոդիկություն` լոկալ կոմբինատորիկայից դեպի գլոբալ անալիզ և ետ

Abstract: Դինամիկան մաթեմատիկայի բազմածավալ ոլորտ է, որն ուսումնասիրում է տարածության մեջ շարժման կամ համակարգի էվոլյուցիայի մոդելներ: Համակարգը մոդելավորվում է որպես կետերի տարածություն, իսկ նրա էվոլյուցիան` որպես այդ տարածության ձևափոխություն (կամ ձևափոխությունների խումբ): Հաճախ այդ տարածությունում սահմանված է հավանականության գաղափար, որը ձևափոխության ազդեցությունից չի փոփոխվում` ինվարիանտ է. օրինակ` հարթության մեջ միավոր շրջանագծի ցանկացած պտույտ: Այսպիսի դինամիկ համակարգերն ուսումնասիրող առարկան էրգոդիկ տեսությունն է: Սրա զգալի մասը զբաղեցնում են կետային էրգոդիկ թեորեմները, որոնք ասում են գլոբալ անալիտիկ պահելաձևը որոշվում է լոկալ կոմբինատորակայով, և հակառակը: Այս զեկույցում կներմուծվեն վերը նշված գաղափարները, կներկայացվի դասական կետային էրգոդիկ թեորեմը (Բիրխոֆ 1931), կքննարկվեն դրա կիրառությունները թվերի տեսության և հավանականության տեսության մեջ, ինչպես նաև նոր էրգոդիկ թեորեմներ (Ծ.-Զոմբակ 2020):

 Ոչ մի գիտելիք չի պահանջվում բացի հաջորդականության սահմանի ու ֆունկցիայի ինտեգրալի մասին ինտուիտիվ պատկերացում ունենալուց:

Ergodicity: from local combinatorics to global analysis and back

Dynamics is a broad area of mathematics that studies models of motion in space or evolution of a system. We think of a system as a space of points and evolution as a transformation (or a group of transformations) of that space. Often the space is equipped with a natural notion of probability, which is preserved by the transformation, for example, a rotation of the unit circle on the plane. The subject that studies such dynamical systems is ergodic theory. A significant part of this is occupied by pointwise ergodic theorems, which say that global analytic behavior is determined by local combinatorics and vice versa. In this talk, we will introduce the above concepts, state the classical pointwise ergodic theorem (Birkhoff 1931), discuss its applications to number theory and probability theory, as well as new ergodic theorems (Ts.-Zomback 2020).

 No knowledge is needed besides an intuitive understanding of convergence of sequences and integral of a function.

ArmenianMathematics

Audience: general audience

( slides | video )

---

Yerevan Mathematical Colloquium

Series comments: "Yerevan Mathematical Colloquium" invites survey talks aimed at a general mathematical audience, that emphasize proof methods, relations between branches of mathematics, possible applications, and open problems.

---