Geometria de campos polinomiais legendrianos

Abstract: Folheações, ou mais geralmente, distribuições fornecem um enfoque geométrico na teoria das equações diferenciais.

Um campo polinomial homogêneo no espaço projetivo $\mathbb{CP}^3$ é definido por $$ \ \varphi:=p_1\partial_{x_1}+\cdots+p_4\partial_{x_4} ,\ \ \deg p_i=d .$$ Temos associada uma folheação de dimensão um, a qual corresponde a um ponto de um espaço projetivo, $\mathbb{CP}^N$, dos "coeficientes'' de $\varphi$. A folheação é Legendriana quando tangente a alguma distribuição de contato. Em termos algébricos, isto significa \linebreak a existência de uma forma diferencial $$ \omega:=a_1dx_1+\cdots+a_4dx_4 $$ com $\deg a_i=1,\sum a_ix_i=\!0\!=\!\omega(\varphi):=\!\sum a_ip_i$,\,(syzygies:-)

Nosso objetivo é mostrar o cálculo da dimensão e do grau da subvariedade $\mathbb L_d\subset\mathbb P^N$ formada pelas folheações legendrianas.

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Seminários de Matemática da UFPB