Não existe ideal de operadores próprio universal

18-Nov-2021, 19:00-20:00 (2 years ago)

Abstract: Calkin (1941) mostrou que o único ideal fechado não-trivial de $B(H)$ é o ideal $K(H)$ dos operadores compactos. O mesmo resultado vale para os espaços $\ell_p$ (Gohberg-Markus-Feldman 1967). Porém Johnson-Schechtmann (2020) mostram que existem $2^c$ ideais fechados em $B(L_p)$ ($1

A teoria dos ideais de operadores de Pietsch (1979) permite considerar ideais em vários espaços de Banach simultaneamente: um ideal de operadores I é uma correspondência que associa a cada par $(X,Y)$ de espaços de Banach um subespaço $I(X,Y)$ de $B(X,Y)$, com as regras naturais de ideais. Exemplos são os ideais F dos operadores de posto finito entre espaços de Banach, K dos operadores compactos, ou In dos operadores inessenciais.

Os exemplos acima são ideais ``próprios": um ideal $I$ de operadores é próprio se para todo $X$ de dimensão infinita, $I(X)$ é ideal próprio de $B(X)$. A. Pietsch (1979) perguntou se existe um ideal próprio universal entre os ideais próprios, e conjeturou que o ideal $In$ dos operadores inessenciais é esse ideal. Daremos uma resposta negativa ao problema de Pietsch da seguinte maneira: \begin{itemize} \item[(1)] o ideal $In$ não é maximal entre os ideais próprios \item[(2)] não existe um ideal próprio universal \end{itemize} A prova está baseada numa generalização de resultados de Aiena-González (2000) sobre operadores ``improjetivos" no espaço ``shift" de Gowers-Maurey (1997). Para isso provaremos versões multidimensionais das propriedades desse espaço via uso de $K$-teoria em sua algebra dos operadores.

Portuguesecommutative algebraalgebraic geometryanalysis of PDEsalgebraic topologydifferential geometryfunctional analysisgeneral topologygeometric topologyprobabilityrings and algebras

Audience: general audience


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