Funções mágicas e a equidistribuição de zeros de polinômios

Abstract: Essa será uma conversa na interface entre análise e teoria dos números. Eu gostaria de ilustrar o princípio de que (às vezes) é possível descobrir certos problemas de otimização em análise dormentes em situações aparentemente mais algébricas. Minha ideia será mostrar isso através de um problema especial que descrevo abaixo.

Em 1950, Erdös e Turán investigaram o fenômeno da equidistribuição angular de zeros de um dado polinômio $P$. Eles provaram uma desigualdade para a chamada "discrepância angular" que, em termos qualitativos, essencialmente diz o seguinte: se o módulo de $P$ no disco unitário (complexo) é pequeno, e o coeficiente constante de $P$ não é tão pequeno, então os ângulos (argumentos) dos zeros tendem a se equidistribuir módulo $2\pi$ quando o grau do polinômio cresce. A forma quantitativa da desigualdade original de Erdös e Turán foi refinada somente 3 vezes ao longo do anos: por Ganelius em 1954, por Mignotte em 1992 e por Soundararajan em 2019. Nessa palestra eu gostaria de mostrar a vocês uma abordagem recente, baseada em um problema de otimização de Fourier envolvendo a transformada de Hilbert, que nos leva a um novo refinamento não-trivial desta desigualdade.

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Audience: general audience

Seminários de Matemática da UFPB