Algunas variantes de la multiplicación de enteros con aplicaciones a la teoría de particiones

Abstract: En esta charla, asumiremos los axiomas de la aritmética de Dedekind-Peano (PA) formulados como un lenguaje de primer orden. A partir de aquí, mo-dificaremos el axioma de multiplicación. Por cada modificación, obtendremos una nueva aritmética y nuestro propósito será ver las semejanzas y diferencias entre el modelo estándar de PA y los nuevos modelos modificados. Además, veremos que la verdad o falsedad de algunas conjeturas clásicas es equivalente en los nuevos modelos de aritmética que aparecen, aunque estos tengan una operación producto no conmutativa ni asociativa.

\medskip \noindent En la segunda parte de esta charla, estudiaremos problemas de particiones considerando el conjunto de divisores de un número en las nuevas aritméticas pro-puestas en la primera parte. Con esta idea, nos centraremos en tres problemas de particiones: \begin{itemize}[leftmargin=*] \item La enumeración del conjunto AP($n$) de particiones de un entero positivo $n$ cuya secuencia no decreciente de partes forman una progresión aritmética. \item El estudio del conjunto DPC($n$), esto es, el problema de dividir $n$ en partes cuyas diferencias entre las partes consecutivas forman la secuencia de números consecutivos. Por ejemplo: $(1,5,10,16) \in \textrm{DPC}(32)$. También aplicaremos los resultados obtenidos para resolver el problema de la representación de un entero positivo $a$ como suma de números triangulares consecutivos. En particular, nos centraremos en el caso en el que $a$ es también un número triangular. \item Una posible generalización de los dos problemas previos: la enumeración del conjunto $\textrm{PP}(n)$ de particiones de $n$ cuyas no decrecientes partes $p(1)$, $p(2)$, $\ldots$, $p(d)$, están contenidas en un polinomio de segundo grado $p(x) \in \mathbb{Q}[x]$. \end{itemize}

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

Seminario Méxicano de Teoria de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en México y Latinoamérica por medio de conferencias en español (y de manera excepcional en ingles) a cargo de investigadores y estudiantes con intereses en teoría de números. Consultar instrucciones de registro en la pagina web.