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SUMMARY:Antoine Chambert-Loir (l'Université de Paris)
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DESCRIPTION:Title: <a href="https://researchseminars.org/talk/Rega/6/">Com
 binatoire et géométrie algébrique</a>\nby Antoine Chambert-Loir (l'Univ
 ersité de Paris) as part of RéGA (Réseau des étudiants en Géométrie 
 Algébrique)\n\n\nAbstract\nÉtant donné un polytope convexe $P$ de dimen
 sion $d$ dans un espace vectoriel réel\, considérons la suite $f(P)=(f_0
 \,f_1\,\\dots)$ d'entiers\, où $f_m$ est le nombre de faces de dimension 
 $m$ — le « vecteur $f$ » associé au polytope $P$. Si la situation est
  essentiellement inintéressante en dimension 1 et 2 — on trouve $f(P)=(
 2\,1)$ et $f(P)=(n\,n\,1)$ respectivement\,  où $n$ est un entier $\\geq 
 3$ qui peut être arbitraire —\, elle devient bien plus intéressante en
  dimension plus grande.  La relation d'Euler-Poincaré $f_0-f_1+f_2-\\dots
  = (-1)^{d-1}$\, $d$ étant la dimension de $P$\, indique que ces vecteurs
  $f$ ne peuvent être arbitraires et les travaux de McMullen (1971)\, Bill
 era et Lee (1980) et Stanley (1980) caractérisent exactement ceux qui app
 araissent\, au moins lorsque toutes les faces des polytopes considérés s
 ont des simplexes (ces polytopes sont dits $\\textit{simpliciaux}$ ou $\\t
 extit{simples}$). \n\nCes caractérisations se formulent plutôt en termes
  du vecteur $h(P)$\, formé des coefficients du polynôme $\\sum_{i=0}^d h
 _i x^{d-i} = \\sum_{i=0}^d f_{i-1}(x-1)^{d-i}$. Les relations de Dehn--Som
 merville affirment déjà que ce vecteur $h$ est symétrique: $h_i=h_{d-i}
 $\, mais il y a d'autres conséquences.\nLa conséquence la plus élément
 aire de cette caractérisation est que le vecteur $h$ est $\\textit{unimod
 al}$ : ses coefficients croissent puis décroissent. La démonstration de 
 Stanley repose sur la géométrie algébrique. C'est en fait une conséque
 nce presqu'immédiate du théorème de Lefschetz difficile pour la cohomol
 ogie d'intersection des variétés toriques.\n\nLe but de l'exposé est de
  donner quelqu'intelligibilité à la dernière phrase de ce résumé.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/Rega/6/
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