La aritmética de la variedades Calabi-Yau: variedades de atracción y la descomposición de la estructura de Hodge

Abstract: El objetivo principal de esta charla es explorar algunas cuestiones de interés común para físicos, teóricos de números y geómetras, en el contexto de las variedades de Calabi-Yau de tres dimensiones. Existen muchas relaciones, sin embargo nos enfocaremos en la rica estructura de las soluciones de agujeros negros de las supercuerdas sobre variedades de Calabi-Yau. Intentaré ofrecer una introducción autocontenida dirigida para una audiencia de matemáticos.

Los principales objetos de interés en el contexto aritmético son los números de puntos de la variedad, considerada como una variedad sobre cuerpos finitos, y cómo varían estos números con los parámetros de las variedades. La función generadora de estos números es la función zeta, sobre la cual se sabe mucho gracias a las conjeturas de Weil. La primera sorpresa, para un físico, es que los números de estos puntos, y por tanto la función zeta, están dados por expresiones que involucran los períodos de la variedad. Estos mismos períodos determinan también muchos aspectos de la teoría física, incluyendo las propiedades de las soluciones de agujeros negros. Discutiré una serie de temas interesantes relacionados con la función zeta, la correspondiente función L, y la aparición de la modularidad para ciertas familias de un parámetro de variedades de Calabi-Yau. Nos centraremos en un ejemplo en el que el numerador de grado cuarto de la función zeta de una familia de un parámetro se factoriza sobre los enteros en dos cuadráticas para valores especiales del parámetro.

Estos valores especiales, para los cuales la variedad subyacente es suave, satisfacen una ecuación algebraica con coeficientes en Q, por lo tanto independientes de cualquier primo particular. La importancia de estas factorizaciones radica en que se deben a la existencia de puntos atractores de agujeros negros en el sentido de la supergravedad y están relacionadas directamente con una descomposición de la estructura de Hodge en esos valores especiales del parámetro. Los grupos modulares y las formas modulares surgen en relación con estos puntos atractores, de una manera que resulta familiar a los matemáticos como consecuencia del Programa de Langlands, pero que representa una sorpresa para un físico.

Hasta donde sabemos, los puntos atractores de rango dos que encontramos junto con Mohamed Elmi y Duco van Straten mediante la aplicación de estas técnicas de teoría de números, constituyen los primeros ejemplos explícitos de tales puntos atractores para variedades de Calabi-Yau.

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

( paper | video )

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Coloquio Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este coloquio es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciones de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números y áreas afines.

La presentación estará seguida por un "café virtual" al que están invitados todos los participantes.

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