Producto de enteros consecutivos y puntos enteros sobre curvas elípticas

Abstract: Pregunta: ¿Dado un entero natural $a$, cuáles números $N$ pueden escribirse como el producto de dos enteros consecutivos y también como el producto de tres enteros consecutivos en una progresión aritmética de razón $a$? Es decir: ¿para cuáles $N$ existen enteros $m$ y $n$ tales que $N=n(n+1)=m(m+a)(m+2a)?$

Mordell (1963) ha resuelto el problema para $a=1$, más tarde Godihno-Porto-Togbé (2014) para $a=2$ y $a=5$, Lee-Louboutin para más valores (20 valores menores que 200).

Pero ninguno de estos trabajos utiliza la estructura de curvas elípticas. Al contrario mostraremos con el uso de la teoría de curvas elípticas (ley de grupo, reducción modulo $p$, alturas de de Néron-Tate locales y globales, uniformización compleja, formas lineales de logaritmos elípticos, etc.) que las soluciones encontradas por los autores citados tienen una interpretación geométrica y que la estructura del grupo de Mordell-Weil gobierna el conjunto de soluciones. Obtenemos así una solución bastante completa del problema inicial.

Se trata de un trabajo com Hemar Godinho y Diego Marquès (UnB, Brasil)

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

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Coloquio Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este coloquio es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciones de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números y áreas afines.

La presentación estará seguida por un "café virtual" al que están invitados todos los participantes.

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