Sumas explicitas de funciones aritméticas

Abstract: (trabajo conjunto con Andrés Chirre)

Sea $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ una sucesión cuyas sumas parciales $\sum_{n\leq x} a_n$ nos interesan en la teoría de números: digamos, $a_n = \mu(n)$, la función de Möbius, o $a_n = \Lambda(n)$, la función de von Mangoldt (sumar $\Lambda(n)$ es básicamente lo mismo que contar primos). Se comprende desde hace tiempo que las sumas parciales están gobernadas por los ceros de una extensión analítica $F(s)$ de la serie de Dirichlet $\sum_n a_n n^{-s}$.

Ahora bien, digamos que alguien nos da la información finita sobre $F(s)$: digamos, todo lo que querramos sobre los ceros de $F(s)$ con parte imaginaria $t$ entre $-T$ y $T$, y nada sobre los otros ceros. Cuál es la manera óptima de usar dicha información?

Que esta es una laguna se vuelve evidente cuando consideramos cotas explícitas. Cuando $a_n = \Lambda(n)$, el problema de dar cotas sobre $\sum_{n\leq x} a_n$ esta relativamente bien comprendido, aunque los procedimientos en la literatura no son óptimos. Empero, para $a_n = \mu(n)$, las cotas parciales explícitas que existen son indirectas, y basadas en parte sobre métodos de mediados del siglo XIX (Chebyshev); el enfoque analítico se atascaba.

Mostraremos la manera óptima de usar la información sobre los ceros de $F(s)$ con $t$ entre $-T$ y $T$. En particular, obtendremos para las sumas $M(n) = \sum_{n\leq x} \mu(n)$ más de mil veces mejores que las conocidas. Veremos cómo combinar el enfoque Wiener-Ikehara con el enfoque complejo para luego usar aproximantes de tipo Beurling-Selberg/Graham-Vaaler/Carneiro-Littmann.

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the discipline

( video )

---

Coloquio Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este coloquio es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciones de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números y áreas afines.

La presentación estará seguida por un "café virtual" al que están invitados todos los participantes.

---