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SUMMARY:Harald Andrés Helfgott (CNRS/Institut de Mathématiques de Jussie
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DESCRIPTION:Title: <a href="https://researchseminars.org/talk/LATeN/81/">S
 umas explicitas de funciones aritméticas</a>\nby Harald Andrés Helfgott 
 (CNRS/Institut de Mathématiques de Jussieu) as part of Coloquio Latinoame
 ricano de Teoría de Números\n\n\nAbstract\n(trabajo conjunto con Andrés
  Chirre)\n\nSea $\\{a_n\\}_{n=1}^\\infty$ una sucesión cuyas sumas parcia
 les $\\sum_{n\\leq x} a_n$ nos interesan en la teoría de números: digamo
 s\, $a_n = \\mu(n)$\, la función de Möbius\, o $a_n = \\Lambda(n)$\, la 
 función de von Mangoldt (sumar $\\Lambda(n)$ es básicamente lo mismo que
  contar primos). Se comprende desde hace tiempo que las sumas parciales es
 tán gobernadas por los ceros de una extensión analítica $F(s)$ de la se
 rie de Dirichlet $\\sum_n a_n n^{-s}$. \n\nAhora bien\, digamos que alguie
 n nos da la información finita sobre $F(s)$: digamos\, todo lo que querra
 mos sobre los ceros de $F(s)$ con parte imaginaria $t$ entre $-T$ y $T$\, 
 y nada sobre los otros ceros. Cuál es la manera óptima de usar dicha inf
 ormación?\n\nQue esta es una laguna se vuelve evidente cuando consideramo
 s cotas explícitas. Cuando $a_n = \\Lambda(n)$\, el problema de dar cotas
  sobre $\\sum_{n\\leq x} a_n$ esta relativamente bien comprendido\, aunque
  los procedimientos en la literatura no son óptimos. Empero\, para $a_n =
  \\mu(n)$\, las cotas parciales explícitas que existen son indirectas\, y
  basadas en parte sobre métodos de mediados del siglo XIX (Chebyshev)\; e
 l enfoque analítico se atascaba.\n\nMostraremos la manera óptima de usar
  la información sobre los ceros de $F(s)$ con $t$ entre $-T$ y $T$. En pa
 rticular\, obtendremos para las sumas $M(n) = \\sum_{n\\leq x} \\mu(n)$ m
 ás de mil veces mejores que las conocidas. Veremos cómo combinar el enfo
 que Wiener-Ikehara con el enfoque complejo para luego usar aproximantes de
  tipo Beurling-Selberg/Graham-Vaaler/Carneiro-Littmann.\n
LOCATION:https://researchseminars.org/talk/LATeN/81/
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