Reducción de funciones L de curvas elípticas módulo enteros

Félix Baril Boudreau (University of Western Ontario)

15-Jun-2022, 18:00-19:00 (21 months ago)

Abstract: Sea $\mathbb{F}_q$ un campo finito de tamaño $q$, donde $q$ potencia de un primo $p \geq 5$. Sea $C$ una curva suave, propia y geometricamente conexa sobre $\mathbb{F}_q$. Consideramos una curva elíptica $E$ sobre el campo de funciones $K$ de $C$ cuyo invariante $j$ no es constante. A $E$ se puede asociar su función $L$, $L(T,E/K)$, que es una función generadora que contiene información sobre los tipos de reducción de $E$ en los diferentes lugares de $K$. Se ha demostrado que la función $L$ de $E/K$ es un polinomio en $\mathbb{Z}[T]$.

En 1985, Schoof elaboró un algoritmo para calcular la función zeta de una curva elíptica sobre un campo finito calculando directamente su numerador módulo suficientes primos $\ell$. En analogía con Schoof, consideramos una curva elíptica $E$ sobre $K$ cuyo invariante $j$ no es constante y estudiamos el problema de calcular directamente la redución modulo $\ell$ of $L(T,E/K)$. En este trabajo obtenemos resultados en dos direcciones. En primer lugar, dado un entero $N$ diferente de $p$ y una curva elíptica $E$ con torsión $N$ racional sobre $K$, obtuvimos una formula para la redución módulo $N$ de la función $L$ de ciertos torcidos cuadráticos, esto se logró extendiendo un resultado de Chris Hall. También, tenemos una formula que relaciona las funciones $L$ modulo $2$ de cualesquiera dos torcidos cuadráticos de $E$ sin ninguna hipótesis sobre la torsión $2$ racional sobre $K$. En segundo lugar, dado un primo $\ell \neq p$, encontramos bajo unas condiciones relativamente generales, fórmulas para la redución de $L(T,E/K)$ modulo $\ell$. Las fórmulas en este trabajo se pueden calcular con algoritmos más eficientes que metodos de conteo genuinos.

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Audience: researchers in the topic


Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/

Organizers: Daniel Barrera*, Matilde Lalin*, Nicolás Sirolli*, Gonzalo Tornaría*
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