De ABC a L: Conjectura do ABC uniforme e a não-existência de zeros de Siegel

Abstract: No ano de 2000, usando ideias vindo da análise, álgebra e aritmética, Granville e Stark mostraram que uma certa formulação uniforme da conjectura do ABC para corpos de números implica que L-funções reais de Dirichlet associadas a corpos quadráticos imaginários não possuem zeros de Siegel. Nesta palestra, discutiremos a estrutura do argumento principal que faz a ponte entre ``ABC-lândia'' e ``L-função-lândia'', e como pequenos ajustes ao método de Granville--Stark nos permite obter relações mais precisas entre a análise (regiões livres de zero de L-funções) e a aritmética (alturas de ``singular moduli''). Nosso resultado principal diz que uma versão fraca de ABC uniforme implica que, para todo caractere real primitivo de Dirichlet $\chi~(\mathrm{mod}~q)$ ímpar, \[ \max\{\beta\in\mathbb{R} ~|~ L(\beta,\chi)= 0\} < 1 - \frac{\sqrt{5}\varphi + o_{q\to\infty}(1)}{\log q} \] onde $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, e isso pode ser melhorado para $q$ suave.

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Audience: researchers in the topic

Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/