Elementos k-normais em corpos finitos

Abstract: Seja $q$ uma potência de um número primo, $\mathbb F_q$ o corpo finito com $q$ elementos e, para cada inteiro positivo $n$, seja $\mathbb F_{q^n}$ a única extensão de $\mathbb F_q$ de grau $n$.

Podemos ver o corpo $\mathbb F_{q^n}$ como um espaço vetorial sobre $\mathbb F_q$ (de dimensão $n$). Neste contexto, um elemento $\alpha \in \mathbb F_{q^n}$ é dito $k$-normal sobre $\mathbb F_q$ se o $\mathbb F_q$-espaço vetorial gerado por seus conjugados $\alpha, \alpha^{q}, \ldots, \alpha^{q^{n-1}}$ tem dimensão $n-k$.

Nesta palestra discutiremos a existência de elementos $k$-normais que são também primitivos (i.e., geradores do grupo multiplicativo $\mathbb F_{q^n}^*$). Tal problema foi proposto em 2013, motivado pelo Teorema da Base Normal Primitiva (provado em 1986 por Lenstra e Schoof).

As ideias envolvem teoria de caracteres sobre corpos finitos e argumentos de combinatória e álgebra. Em particular, veremos que tal problema está intimamente relacionado a fatoração do polinômio $x^n-1$ sobre o corpo $\mathbb F_q$.

Esta apresentação é baseada em uma série de artigos sobre o tema, incluindo três contribuições do autor e um trabalho em desenvolvimento.

Portuguesenumber theory

Audience: researchers in the topic

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Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/

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