Sobre el mínimo esencial de la altura de Faltings
Ricardo Menares (Pontificia Universidad Católica de Chile)
Abstract: (trabajo en conjunto con José Burgos Gil y Juan Rivera-Letelier): en muchos problemas diofantinos (Manin-Mumford, Bogomolov, André-Oort, etc) resulta útil saber que una familia de puntos algebraicos se equidistribuye. Hay una familia de teoremas de equidistribución que afirman que ``puntos de altura pequeña'' se equidistribuyen.
Las funciones de altura están diseñadas para medir el tamaño de objetos aritméticos. El ejemplo más simple es la Altura de Weil: dado un número racional x=a/b, la altura de Weil le asocia el valor log max {|a|,|b|}, que más o menos indica el número de dígitos necesarios para escribir x. Más generalmente, cuando x es un número algebraico, la altura de Weil le asocia un número real no negativo que indica cuan grande son, en promedio, los coeficientes del polinomio mínimo. Un teorema de Bilu afirma que una sucesión de conjugados galoisianos de puntos algebraicos con altura de Weil tendiendo a cero, debe equidistribuirse según la medida de Lebesgue en el círculo unitario complejo.
En esta charla nos enfocaremos en el caso de la Altura de Faltings, que mide el tamaño de una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números. Faltings introdujo esta función en el contexto de su demostración de la conjetura de Mordell. Esta altura toma en cuenta el lugar de mala reducción de la curva y el conjunto de períodos complejos. Al intentar establecer un análogo del teorema de Bilu en este contexto, el primer obstáculo es entender qué es una sucesión de curvas elípticas pequeñas. En esta charla se explicará en detalle este problema y presentaré algunos resultados parciales.
Spanishnumber theory
Audience: researchers in the topic
Coloquio Latinoamericano de Teoría de Números
Series comments: El objetivo de este coloquio es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciones de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números y áreas afines.
La presentación estará seguida por un "café virtual" al que están invitados todos los participantes.
| Organizers: | Ariel Pacetti*, Gonzalo Tornaría*, Harald Helfgott |
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