Una cota tipo Chabauty-Coleman para superficies en variedades abelianas

Abstract: En 1922 Mordell conjeturó que cada curva proyectiva suave $C$ definida sobre $\mathbb{Q}$ con $g(C)>1$ tiene sólo finitos puntos racionales. Chabauty en 1941 consiguió una prueba parcial a esta conjetura, el caso rk$_{\mathbb{Z}}J(\mathbb{Q})< g(C)$ donde $J$ es el Jacobiano de $C$. Chabauty probó que el conjunto $C(\mathbb{Q}_p)\cap\overline{J(\mathbb{Q})}$ es finito, donde $\overline{J(\mathbb{Q})}$ denota la clausura $p$-ádica de $J(\mathbb{Q})$ en $J(\mathbb{Q}_p)$. En particular, el número de puntos racionales de $C$ es finito. Fue hasta 1983 que G. Faltings demostró esta conjetura sin restricciones en el Jacobiano de la curva $C$. Mientras tanto, Coleman usando las ideas de Chabauty, dio una cota superior para el número de puntos racionales, que depende de la geometría de $C$ y y un primo $p>2g(C)$ de buena reducción para $C$. Dicha cota es \[ \#C(\mathbb{Q})\leq \#C(\mathbb{F}_p)+(2g(C)-2). \] El objetivo de esta charla es mostrar un nuevo proceso, que generaliza el resultado anterior. para superficies de tipo general dentro de una variedad abeliana de rango de Mordell-Weil $1$, bajo algunas condiciones geométricas sobre una fibra especial de $X$. Nuestro proceso es basado en $\omega$-integralidad sobredeterminada en característica positiva. Este es un trabajo conjunto con Héctor Pastén.

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

( paper )

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Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/

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