Los grafos expansores y el problema de paridad

Abstract: La noción de grafo expansor puede definirse de varias maneras equivalentes: en términos de las fronteras de conjuntos de vértices, o de valores propios del Laplaciano, o de caminatas aleatorias... Los grafos expansores se han convertido en un objeto central de estudio en las matemáticas discretas; aparte de sus variadas aplicaciones en el estudio de algoritmos, aparecen en la teoría de grupos, la combinatoria y también en la teoría de números.

Aparte de dar una introducción a los grafos expansores, hablaré de un resultado reciente mío (todavía por aparecer!) conjunto con M. Radziwiłł. Probamos que unos grafos que codifican cuáles primos en un rango dividen a cada entero son grafos expansores, en un sentido por cierto fuerte. En tanto que corolarios (y usando también un resultado de Matomäki-Radziwiłł-Tao), obtenemos que

$$\frac{1}{\log x} \sum_{n\leq x} \frac{\lambda(n) \lambda(n+1)}{n} = O\left(\frac{1}{\sqrt{\log \log x}}\right),$$

lo cual mejora el resultado de Tao sobre la conjectura de Chowla logarítmica en grado 2. Obtenemos también una mejora sobre el trabajo de Tao-Teräväinen sobre la conjectura de Chowla a casi toda escala.

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

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Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/

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