Resultados en equivalencia aritmética(un análogo al teorema de isogenia).

Abstract: Dos cuerpos de números se llaman aritméticamente equivalentes si sus funciones zeta de Dedekind coinciden. Mucha de la información aritmética de un cuerpo de números está codificada en su función zeta. Por ejemplo, gracias al trabajo de R.Perlis en los 70's, si dos cuerpos de números son A.E entonces comparten grado, discriminante, signatura, grupo de unidades, clausura de Galois entre otros.

En la primera parte de la charla recordaré el origen de algunos de estos resultados, junto con una interpretación grupo teórica de equivalencia aritmética, descubierta por Gassmann en los 20, la cual se hizo famosa en los 80's dado que inspiró la estrategia de Sunada para responder negativamente a la pregunta de Milnor "Can you hear the shape of a drum?"

En la segunda parte de la charla veremos cómo al interpretar la función zeta como el análogo de la $L$-función de una curva elíptica, vía una representación de Galois muy natural de $G_{\mathbb{Q}}$, se recuperan los resultados de Perlis. Más aún, con esta interpretación clásica se pueden obtener nuevos resultados aritméticos en cuerpos de números; entre ellos veremos cómo un resultado de Rorhlich, acerca de local root numbers de curvas elípticas semiestables, puede ser interpretado en el lenguaje de cuerpos de números.

Módulo el tiempo mostraré cómo este tipo de analogías geométricas permiten responder preguntas acerca densidad en equivalencia aritmética.

Spanishnumber theory

Audience: researchers in the topic

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Seminario Latinoamericano de Teoría de Números

Series comments: El objetivo de este seminario es fomentar el desarrollo de la teoría de números en latinoamérica, y sus colaboraciones, por medio de exposiciónes de trabajos de investigación a cargo de personas pertenecientes a distintos centros de investigación, con intereses comunes en teoría de números (con especial énfasis en temas relacionados a curvas elípticas, formas modulares, representaciones de Galois, funciones L, y afines).

Videos y presentaciones de las charlas pasadas están disponibles en www.cmat.edu.uy/~tornaria/LATeN/

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