Groupes de surfaces dans les réseaux des groupes de Lie semi-simples d’après J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie et S. Mozes

Abstract: Un réseau cocompact d’un groupe de Lie semi-simple $G$ est un sous-groupe discret $\Gamma$ tel que le quotient $G/\Gamma$ soit compact. Un tel réseau contient-il toujours un sous-groupe de surface, à savoir un sous-groupe isomorphe au groupe fondamental d’une surface hyperbolique compacte ? Si oui, contient-il des sous-groupes de surface qui soient proches (dans un sens quantitatif précis) de sous-groupes fuchsiens de $G$, c’est-à-dire de sous-groupes discrets de $G$ contenus dans une copie de $\mathrm{(P)SL}(2,\mathbf{R})$ dans $G$?

Le cas $G = \mathrm{PSL}(2,\mathbf{C})$ correspond à une fameuse conjecture de Thurston sur les variétés hyperboliques de dimension $3$, et la version quantitative du cas $G = \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})\times \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})$ à la conjecture d’Ehrenpreis sur les paires de surfaces hyperboliques compactes ; ces deux conjectures ont été démontrées par Kahn et Marković il y a une dizaine d’années. Motivée par une question de Gromov, Hamenstädt a résolu le cas où $G$ est de rang réel un à l’exception de $G = \mathrm{SO}(2n,1)$. Dans une prépublication récente, Kahn, Labourie et Mozes traitent le cas d’une large classe de groupes semi-simples $G$, incluant notamment tous les groupes de Lie simples complexes ; les groupes de surface qu’ils obtiennent sont des images de représentations anosoviennes au sens de Labourie. Nous donnerons quelques idées de leur démonstration.

Mathematics

Audience: researchers in the discipline

Séminaire Bourbaki (Samedi)