Fonctions L de courbes elliptiques en caractéristique positive (Partie I: Rationalité et algorithme de Schoof))

Abstract: L’hypothèse de Riemann et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) sont de célèbres problèmes non résolus en théorie des nombres dans le contexte des corps de nombres (extensions finies de Q). Du côté des corps de fonctions (extensions finies de Fq(t)), Weil (1949) formula, et démontra dans certain cas, des conjectures portant sur les fonctions zêta de variétés projectives lisses définies sur F_q . Ces conjectures portaient entre autres choses sur la rationalité des fonctions zêta et sur une propriété analogue à l’hypothèse de Riemann qu’elles vérifiaient. Les conjectures de Weil furent généralisées à certaines fonctions L (dont les fonctions zêtas en sont un exemple), et démontrées entre 1960 et 1980, principalement par Dwork, Grothendieck, Artin et Deligne.

Malgré cet énorme succès, ces fonctions L ne sont pas encore complètement bien comprises. Par exemple, il est difficile de les calculer en pratique. De plus, l’analogue de la conjecture de BSD pour une courbe elliptique définie sur un corps de fonctions n’est pas résolu en général.

Dans ce premier exposé de deux, nous esquisserons une preuve de la rationalité de la fonction zêta d’une courbe elliptique définie au-dessus d’un corps fini F_q . Son numérateur est un polynôme quadratique à coefficients entiers dont le terme linéaire a_q dépend du nombre de points à coordonnées dans F_q vérifiant une équation de la forme y^2 = x^3 + Ax + B sur F_q . Essayer un à un les points (x, y) vérifiant cette équation est peu efficace lorsque F_q est grand. Comme a_q est un entier, nous pouvons tenter de calculer directement sa réduction modulo un nombre suffisamment de petits premiers et ensuite reconstruire aq grâce au théorème chinois. Cette idée est la base de l’algorithme développé par Schoof (1985), dont nous parlerons brièvement. Enfin, nous conclurons cette présentation par une esquisse de preuve de la rationalité de la fonction L d’une courbe elliptique E/K définie au-dessus d’un corps de fonctions K. Ce premier exposé ne contient aucun résultat nouveau. Il prépare cependant le terrain pour le second exposé. Ce dernier portera sur des contributions originales du conférencier à l’étude analogue mais plus complexe de la réduction (du numérateur) de la fonction L de E/K modulo des entiers premiers à q.

algebraic geometrynumber theory

Audience: researchers in the topic

Comments: *the talk will be in French

Algebra and Number Theory Seminars at Université Laval