Հաշվելի կապակցված մակերևույթների ունիֆորմիզացիան / Uniformization of countably connected surfaces

Abstract: By the Riemann Mapping Theorem every simply connected proper domain $D\subsetneq\mathbb{C}$ of the complex plane $\mathbb{C}$, is conformally equivalent to the unit disk $\mathbb{D}\subset\mathbb{C}$. More generally, Koebe proved in 1920's that every finitely connected domain $D\subset\mathbb{C}$ is conformal to a circle domain, or a domain whose complementary components are round disks or points. In 1909 Koebe conjectured that every planar domain is conformal to a circle domain. In 1993, He and Schramm proved Koebe's conjecture in the countable case. The general case is still open and is one of the hardest and most important open problems in complex analysis.

During the last 30 years numerous modern versions of uniformization results have been proven, often motivated by problems in geometric group theory and dynamics. Instead of planar domains and conformal mappings one now considers possibly fractal metric spaces and quasiconformal/quasisymmetric mappings between them. I will describe some of these results and time permitting will state some recent theorems (joint with Jon Rehmert) characterizing countably connected metric surfaces which are quasisymmetric to planar circle domains.

Ըստ Ռիմանի թեորեմի, հարթության յուրաքանչյուր միակապ տիրույթ $D\subsetneq\mathbb{C}$ կարելի է կոնֆորմ արտապատկերել միավոր շրջանի վրա: Ավելին` 1920-ականներին Պ.Քոբեն ապացուցեց, որ հարթության յուրաքանչյուր վերջավոր կապակցված տիրույթ կարելի է կոնֆորմ արտապատկերել մի տիրույթի, որի լրացումը բախկացած է միմյանց հետ չհատվող շրջաններից կամ կետերից. Այսպիսի տիրույթները կոչվում են շրջանային տիրույթներ: 1909 թ.-ին Քոբեն առաջարկեց հետևյալ վարկածը` կոմպլեքս հարթության յուրաքանչյուր տիրույթ կարելի է կոնֆորմ արտապատկերել շրջանային տիրույթի: 1993 թ.-ին Հեն և Շրամը ապացուցեցին Քոբեի վարկածը հաշվելի կապակցված տիրույթների դեպքում։ Ընդհանուր դեպքում Քոբեի վակածը դեռ լուծված չէ, և հանդիսանում է ժամանակակից կոմպլեքս անալիզի ամենակարևոր և բարդ խնդիրներից մեկը:

Վերջին 30 տարիների ընթացքում ապացուցվել են ունիֆորմիզացիայի բազմաթիվ ժամանակակից տարբերակներ, ինչը հաճախ պայմանավորված է երկրաչափական խմբերի տեսության և դինամիկ համակարգերում առաջացած խնդիրներով: Հարթ տիրույթների և կոնֆորմ արտապատկերումների փոխարեն այժմ դիտարկվում են ավելի ընդհանուր (երբեմն նույնիսկ ֆրակտալային) մետրիկական տարածություններ և նրանց միջև քվազիկոնֆորմ/քվազիսիմետրիկ արտապատկերումներ: Ես կնկարագրեմ այս արդյունքներից մի քանիսը, և եթե ժամանակը թույլ տա, կներկայացնեմ որոշ նոր արդյունքներ (Ջոնաթան Ռեհմերտի հետ համատեղ), որոնք լիովին բնութագրում են այն հաշվելի կապակցված մետրիկական մակերևույթները, որոնք հնարավոր է քվազիսիմետրիկ կերպով (այսինքն առանց մեծ աղճատման) արտապատկերել հարթ շրջանային տիրույթների:

ArmenianMathematics

Audience: general audience

( video )

Comments: Talk chair: Ara Basmajian (City University of New York)

---

Yerevan Mathematical Colloquium

Series comments: "Yerevan Mathematical Colloquium" invites survey talks aimed at a general mathematical audience, that emphasize proof methods, relations between branches of mathematics, possible applications, and open problems.

---