BEGIN:VCALENDAR VERSION:2.0 PRODID:researchseminars.org CALSCALE:GREGORIAN X-WR-CALNAME:researchseminars.org BEGIN:VEVENT SUMMARY:Hrant Hakobyan (Kansas State University) DTSTART:20220305T150000Z DTEND:20220305T160000Z DTSTAMP:20260423T021313Z UID:YMC/32 DESCRIPTION:Title: Qua sisymmetric Koebe Uniformization of countably connected surfaces II\nb y Hrant Hakobyan (Kansas State University) as part of Yerevan Mathematical Colloquium\n\n\nAbstract\nBy the Riemann Mapping Theorem every simply con nected proper domain $D\\subsetneq\\mathbb{C}$ of the complex plane $\\mat hbb{C}$\, is conformally equivalent to the unit disk $\\mathbb{D}\\subset\ \mathbb{C}$. More generally\, Koebe proved in 1920's that every finitely c onnected domain $D\\subset\\mathbb{C}$ is conformal to a circle domain\, o r a domain whose complementary components are round disks or points. In 19 09 Koebe conjectured that every planar domain is conformal to a circle dom ain. In 1993\, He and Schramm proved Koebe's conjecture in the countable c ase. The general case is still open and is one of the hardest and most imp ortant open problems in complex analysis.\n\nDuring the last 30 years nume rous modern versions of uniformization results have been proven\, often mo tivated by problems in geometric group theory and dynamics. Instead of pla nar domains and conformal mappings one now considers possibly fractal metr ic spaces and quasiconformal/quasisymmetric mappings between them. I will describe some of these results and time permitting will state some recent theorems (joint with Jon Rehmert) characterizing countably connected metri c surfaces which are quasisymmetric to planar circle domains.\n\nԸստ Ռ իմանի թեորեմի\, հարթության յուրաքանչյու ր միակապ տիրույթ $D\\subsetneq\\mathbb{C}$ կարելի է կոնֆորմ արտապատկերել միավոր շրջանի վրա: Ավելին` 1920-ականներին Պ.Քոբեն ապացուցեց\, որ հարթության յուրաքանչյուր վերջավոր կա պակցված տիրույթ կարելի է կոնֆորմ արտապա տկերել մի տիրույթի\, որի լրացումը բախկաց ած է միմյանց հետ չհատվող շրջաններից կամ կետերից. Այսպիսի տիրույթները կոչվում են շրջանային տիրույթներ: 1909 թ.-ին Քոբեն առաջ արկեց հետևյալ վարկածը` կոմպլեքս հարթութ յան յուրաքանչյուր տիրույթ կարելի է կոնֆ որմ արտապատկերել շրջանային տիրույթի: 1993 թ.-ին Հեն և Շրամը ապացուցեցին Քոբեի վարկա ծը հաշվելի կապակցված տիրույթների դեպքու մ։ Ընդհանուր դեպքում Քոբեի վակածը դեռ լո ւծված չէ\, և հանդիսանում է ժամանակակից կո մպլեքս անալիզի ամենակարևոր և բարդ խնդիր ներից մեկը: \n\nՎերջին 30 տարիների ընթացքո ւմ ապացուցվել են ունիֆորմիզացիայի բազմա թիվ ժամանակակից տարբերակներ\, ինչը հաճախ պայմանավորված է երկրաչափական խմբերի տե սության և դինամիկ համակարգերում առաջացա ծ խնդիրներով: Հարթ տիրույթների և կոնֆորմ արտապատկերումների փոխարեն այժմ դիտարկվ ում են ավելի ընդհանուր (երբեմն նույնիսկ ֆրակտալային) մետրիկական տարածություննե ր և նրանց միջև քվազիկոնֆորմ/քվազիսիմետր իկ արտապատկերումներ: Ես կնկարագրեմ այս ա րդյունքներից մի քանիսը\, և եթե ժամանակը թ ույլ տա\, կներկայացնեմ որոշ նոր արդյունք ներ (Ջոնաթան Ռեհմերտի հետ համատեղ)\, որոն ք լիովին բնութագրում են այն հաշվելի կապա կցված մետրիկական մակերևույթները\, որոնք հնարավոր է քվազիսիմետրիկ կերպով (այսինք ն առանց մեծ աղճատման) արտապատկերել հարթ շրջանային տիրույթների:\n LOCATION:https://researchseminars.org/talk/YMC/32/ END:VEVENT END:VCALENDAR